Съдържание
- етапи
- За начало
- Метод 1 Продължете чрез опит и грешка
- Метод 2 Продължете с разлагане
- Метод 3 „Тройна игра“
- Метод 4 Разлика на два квадрата
- Метод 5 Използване на квадратичната формула
- Метод 6 Използване на калкулатор
Полиномът се състои от променлива (x), повдигната до определена мощност, наречена степен на полинома, и няколко други термина от по-ниски градуси и / или няколко други константи. Да разделим полином от втора степен (наричан още „квадратично уравнение“) означава да се намали първоначалното изражение до произведение на изрази с по-малки градуси, които след това могат да бъдат умножени един по друг. Тези знания са част от курса на гимназията и други, така че тази статия може да е трудна за разбиране, ако все още нямате необходимото ниво на математика.
етапи
За начало
-
Напишете израза. Стандартната форма на уравнение от втора степен е:ax + bx + c = 0
Започнете с подреждането на условията на вашето уравнение според реда на силите, от най-големите до най-малките, както е в стандартната форма. Вземете за пример:6 + 6x + 13x = 0
Ще пренаредим този израз, за да улесним работата, като просто преместим термините:6x + 13x + 6 = 0. -
Намерете фактурираната форма, като използвате един от методите, обяснени по-долу. Факторизацията ще даде два по-кратки израза, които ще дадат началния полином, ако ги умножим един по друг:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
В този пример са (2x +3) и (3x + 2) фактори от първоначалния израз, 6x + 13x + 6. -
Проверете работата си! Умножете факторите, които сте идентифицирали. След това комбинирайте подобни термини и ще бъдете готови. Започнете с:(2x + 3) (3x + 2)
Нека започнем да тестваме този израз, като умножим термините на двата израза, за да получим:6x + 4x + 9x + 6
Оттам можем да добавим 4x и 9x, защото те са с еднаква степен. Тогава знаем, че нашите фактори са правилни, защото ние падаме добре върху израза на заминаване:6x + 13x + 6.
Метод 1 Продължете чрез опит и грешка
Ако имате работа с доста прост полином, би трябвало да можете да откриете разпадането му като фактор продукт на пръв поглед. Например много математици са в състояние да видят този израз 4х + 4х + 1 дава факторите (2x + 1) и (2x + 1) по навик и с опит (очевидно това не е толкова просто в случая на сложни полиноми). За този пример, нека вземем по-малко разпространен израз:
.
-
Направете списък на коефициентите на коефициента има и в. Използване на израза на формата ax + bx + c = 0, идентифицирайте коефициентите има и в и избройте съответните фактори. За: 3x + 2x - 8, това дава:a = 3 и има само една двойка фактори: 1 * 3 c = -8 и четири двойки фактори: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 и -1 * 8.. -
Напишете на листа си два чифта в скоби с интервал, за да напишете вътре в тях. Ще въведете константи за всеки израз в предоставеното пространство:(x) (x). -
Преди х напишете двойка възможни фактори за коефициента има. За коефициента има в нашия пример, 3x, има само една възможност:(3x) (1x). -
След това попълнете двете останали празни пространства с двойка фактори за коефициента в. Вземете например 8 и 1. Напишете ги:(3x8) (X1). -
Решете сега знака (още или по-малко), за да поставите между x и номера, който сте поставили след него. Според знака на оригиналния израз е възможно да се намери какви трябва да бъдат знаците на константи. повикване з и к константите на нашите фактори:Ако ax + bx + c тогава (x + h) (x + k) Ако ax - bx - c или ax + bx - c, тогава (x - h) (x + k) Ако ос - bx + c, тогава (x - h) (x - k)
В нашия пример 3x + 2x - 8 знаците трябва да бъдат поставени по следния начин: (x - h) (x + k), което ни дава следните два фактора:(3x + 8) и (x - 1). -
Проверете фактурираната форма, като я преработите. Първият бърз тест е да се провери дали средният срок има правилната стойност. Ако x не е добър, тогава може да сте избрали грешната двойка фактори за коефициента в, Нека проверим нашите резултати:(3x + 8) (x - 1)
Правейки умножение, получаваме:3x - 3x + 8x - 8
Добавяйки подобни термини (-3x) и (8x), за да опростим този израз, получаваме:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Вече знаем, че вероятно сме установили грешни фактори:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Ако е необходимо, обменете своя избор на фактори. В нашия пример, нека опитаме 2 и 4 вместо 1 и 8:(3x + 2) (x - 4)
Сега нашият коефициент в е -8, но умноженията (3x * -4) и (2 * x) дават -12x и 2x, които в допълнение не винаги дават началната стойност на б, това е + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Ако е необходимо, обърнете поръчката. Инвертираме в нашия пример мястото на 2 и 4:(3x + 4) (x - 2)
Сега коефициентът в винаги е добър, но коефициентите на термините в x си струват този път -6x и 4x. След като се добави, това дава:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Ние сме много близо до първоначалната стойност на 2x, която се стремим да намерим, но знакът не е добър. -
Проверете отново знаците, ако е необходимо. Сега ще спазваме същия ред, но ще разменим знаците:(3x - 4) (x + 2)
Коефициентът преди в винаги е добър и сега изразите в x са на стойност (6x) и (-4x). защото:6x - 4x = 2x 2x = 2x Така получаваме 2x, което първоначално имахме. Така че вероятно открихме правилните фактори.
Метод 2 Продължете с разлагане
Този метод ще ни позволи да идентифицираме всички възможни фактори за получаване на коефициентите има и в и ги използвайте, за да идентифицирате кои фактори са най-правилните. Ако числата са много големи или другите методи за опит и грешки изглеждат твърде дълги, можете да използвате този метод. Вземете следния пример:
.
-
Умножете коефициента има по коефициента в. В нашия пример, има е равно на 6 и в също е равно на 6.6 * 6 = 36. -
Намерете коефициента б чрез факториране и след това тестване на получените фактори. Търсим две числа, които са фактори на продукта има * в които сме идентифицирали и чиято сума струва стойността на коефициента "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Представете двете числа, които току-що сте вкарали във вашето уравнение; поставете ги пред x, така че тяхната сума да е равна на коефициента б. Нека вземем писмата к и з да представят двете получени числа, 4 и 9:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Факторизирайте полинома си чрез групиране. Организирайте уравнението, така че да намерите най-големия общ коефициент на първите два члена и най-големия общ коефициент на последните два члена. След това трябва да получите сума от две идентични формуляри, които се използват. Обобщете двата коефициента заедно и ги поставете в скоби пред фактурираната ви форма; след това получавате двата си фактора:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Метод 3 „Тройна игра“
Този метод е много подобен на предишния. Това се състои в проучване на възможните фактори за продуктите на коефициентите има и в, след това ги използвайте, за да намерите стойността на б, Вземете за пример следното уравнение:
-
Умножете коефициента има по коефициента в. Както при метода на разлагане, това ще ни помогне да идентифицираме потенциалните кандидати за коефициента б, В нашия пример, има е равно на 8 и в струва 2.8 * 2 = 16. -
Намерете двете числа, чийто продукт е числото, току-що открито по-рано (16) и чиято сума дава коефициента "b". Тази стъпка е идентична с тази на метода на разлагане - тоест тестваме и отхвърляме кандидатите за константи. Продуктът на коефициентите има и в е равно на 16, а коефициентът в е равно на 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Вземете тези две числа и ги заменете във формулата "тройна игра". Вземете двете числа от предишната стъпка - нека да ги извикаме з и к - и ги въведете в следния израз:((ax + h) (ax + k)) / a
Тогава получаваме:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Намерете кой от скобите в числителя се дели на коефициента има. В този пример тестваме дали (8x + 8) или (8x + 2) може да бъде разделено на 8. (8x + 8) е делимо на 8, тогава ще разделим този израз на има и оставете другия израз такъв, какъвто е.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Изразът, който запазваме тук, е този, който остава след разделяне на коефициента има : (x + 1). -
Намерете - ако има - по-голям общ фактор и в двете скоби. В нашия пример вторият израз има по-голям общ коефициент 2, тъй като 8x + 2 = 2 (4x + 1). Комбинирайте този отговор с израза, който сте намерили в предишната стъпка. Така открихте двата фактора на вашия полином.2 (x + 1) (4x + 1).
Метод 4 Разлика на два квадрата
Някои коефициенти на полиномите могат да бъдат идентифицирани като "квадрати", тоест като произведения на умножението на две числа. Идентифицирайки тези квадрати, можете да разделите много полиноми много по-бързо. Вземете например уравнението:
-
Започнете, като разделяте всичко в по-голям общ фактор, ако е възможно. В нашия пример виждаме 27 и 12, като и двете са делими на 3, така че можем да "спукаме" първоначалния израз, както следва:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Определете дали коефициентите на вашето уравнение са квадратни числа. За да използвате този метод, трябва да можете да намерите квадратни корени за вашите коефициенти (обърнете внимание, че ние не считаме отрицателните признаци - тъй като имаме работа с квадратчета, те може да са продукт на две положителни числа или отрицателно)9x = 3x * 3x и 4 = 2 * 2. -
Използвайки квадратните корени, които намерихте, напишете вашите фактори. Вземете стойностите на има и в предварително намерен - има = 9 и в = 4 - преди да намерят своя квадратен корен - √има = 3 и √в = 2. Това ще бъдат коефициентите на нашите факторни изрази:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Метод 5 Използване на квадратичната формула
Ако всички горепосочени методи не са успели и не можете да намерите правилните фактори за вашето уравнение, използвайте квадратичната формула. Вземете следния пример:
-
Вземете стойностите на коефициентите "a", "b" и "c" и ги заменете в следната квадратна формула:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2а
Тогава получаваме израза:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Решете уравнението, за да намерите x. Както можете да видите по-горе, трябва да получите две стойности на x:
x = -2 + √ (3) или x = -2 - √ (3). -
Използвайте стойността на x, за да намерите факторите. Въведете стойностите на x, получени по-рано като константи на двата полиномични израза. Това ще са вашите фактори. повикване з и к стойностите на x и напишете двете факторни форми:(x - h) (x - k)
В този случай крайният резултат е:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Метод 6 Използване на калкулатор
Ако имате право да използвате графичен калкулатор, имайте предвид, че това значително ще улесни вашата задача, особено по време на изпити. Тези инструкции са валидни само за графични калкулатори на марката Texas Instrument. Вземете за пример следното уравнение:
-
Въведете уравнението си в калкулатора. Ще трябва да използвате "уравнението на разделителната способност", тоест екрана. -
Направете графично представяне на уравнението си на калкулатора. След като въведете уравнението, натиснете - след това трябва да видите графичното представяне на кривата (по-точно, ще получите "дъга", защото работите върху полиноми). -
Намерете точките на пресичане на дъгата с оста x (x). Тъй като полиномните уравнения традиционно се записват под формата: ax + bx + c = 0, това са двете стойности на x, за които изразът е равен на нула:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Ако не можете да прочетете стойностите на мястото, където кривата ви пресича х-оста, натиснете тогава. Натиснете или изберете "нула". Преместете курсора отляво на един от кръстовищата и натиснете. След това преместете курсора вдясно от това кръстовище и натиснете отново. След това преместете курсора възможно най-близо до кръстовището и натиснете отново. Калкулаторът ще намери стойността на x. Направете същото за следващата пресечка.
-
И накрая, въведете стойностите x, получени в предишната стъпка, в двуфакторно изражение. Ако се обадим з и к нашите две стойности на x, тогава ще използваме следния израз:(x - h) (x - k) = 0
И така, ще получим следните два фактора:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Молив
- хартия
- Уравнение на втора степен (или квадратично уравнение)
- Графичен калкулатор (незадължително)